Смотреть что такое "математическая логика" в других словарях. Математическая логика
Подлинную революцию в логических исследованиях вызвало создание во второй половине XIX в. математической логики, которая получила еще название символической и обозначила новый, современный этап в развитии логики.
Зачатки этой логики прослеживаются уже у Аристотеля, а также у его последователей, стоиков в виде элементов логики предикатов и теории модальных выводов, а также логики высказываний. Однако систематическая разработка ее проблем относится к гораздо более позднему времени.
Таким образом, математические аналогии не только могут заставить нас предвидеть физические аналоги, но и не перестают быть полезными, когда последние отсутствуют. Таким образом, цель математической физики заключается не только в том, чтобы помочь физику численный расчет некоторых констант или интеграцию некоторых дифференциальных уравнений.
Все еще, прежде всего, дать ему понять скрытую гармонию вещей, заставив его увидеть новую предвзятость. Из всех частей анализа они являются самыми высокими, самыми чистыми, так сказать, самыми плодородными в руках тех, кто знает, как им пользоваться. Давайте посмотрим, какой анализ должен быть физикой.
Растущие успехи в развитии математики и проникновение математических методов в другие науки уже во второй половине XVII в. настоятельно выдвигали две фундаментальные проблемы. С одной стороны, это применение логики для разработки теоретических оснований математики, а с другой – математизация самой логики как науки. Наиболее глубокую и плодотворную попытку решить вставшие проблемы предпринял крупнейший немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646-1416) Тем самым он стал, по существу, зачинателем математической (символической) логики. Лейбниц мечтал о том времени, когда ученые будут заниматься не эмпирическими исследованиями, а исчислением с карандашом в руках. Он стремился изобрести для этого универсальный символический язык, посредством которого можно было бы рационализировать любую эмпирическую науку. Новое знание, по его мнению, будет результатом логической калькуляции – исчисления.
Мы должны были полностью забыть историю науки, чтобы не помнить, что желание познать природу оказало самое постоянное и счастливое влияние на развитие математики. Во-первых, физик ставит перед нами проблемы, которые он ожидает от нас. Но, предлагая их нам, он заранее заплатил нам за услугу, которую мы можем оказать ему, если нам удастся их решить.
Если мне удастся продолжить мое сравнение с изобразительным искусством, чистый математик, который забывает о существовании внешнего мира, будет похож на художника, который мог бы гармонично сочетать цвета и формы, но для которых модели по умолчанию. Его творческая сила скоро высохнет.
Идеи Лейбница получили некоторую разработку в XVIII в. и первой половине XIX в. Однако наиболее благоприятные условия для мощного развития символической логики сложились лишь со второй половины XIX в. К этому времени математизация наук достигла особенно значительного прогресса, а в самой математике возникли новые фундаментальные проблемы ее обоснования. Английский ученый, математик и логик Дж. Буль (1815-1864) в своих работах, прежде всего, применял математику к логике. Он дал математический анализ теории умозаключений, выработал логическое исчисление («Булева алгебра»). Немецкий логик и математик Г. Фреге (1848–1925) применил логику для исследования математики. Посредством расширенного исчисления предикатов он построил формализованную систему арифметики. Английский философ, логик и математик Б. Рассел (1872–1970) совместно с А. Уайтхедом (18б 1–1947) в трехтомном фундаментальном труде «Принципы математики» в целях ее логического обоснования попытался осуществить в систематической форме дедуктивно-аксиоматическое построение логики.
Комбинации чисел и символов бесконечны. Будем ли мы руководствоваться только своей прихотью? Этот каприз, который сам скоро устает, несомненно, приведет нас далеко друг от друга, и мы скоро перестанем соглашаться между собой. Но это только малая сторона вопроса.
Физика, несомненно, помешает нам сбиться с пути, но она также сохранит нас от гораздо более опасной опасности; это не позволит нам беспрерывно вращаться в одном круге. Как доказывает история, физика не только вынудила нас выбирать между проблемами, которые представлялись в толпе; он навязал нам, о которых мы никогда бы не мечтали без него.
Так открылся новый, современный этап в развитии логических исследований. Пожалуй, наиболее важная отличительная особенность этого этапа состоит в разработке и использовании новых методов решения традиционных логических проблем. Это разработка и применение искусственного, так называемого формализованного языка – языка символов, т.е. буквенных и других знаков (отсюда и наиболее общее наименование современной логики – «символическая»).
Как бы ни отличалось воображение человека, природа в тысячу раз богаче. Чтобы следовать ему, мы должны идти по путям, которые мы пренебрегли, и эти пути часто ведут нас к вершинам, откуда мы открываем новые ландшафты. Математические символы подобны физическим реальностям; это сопоставление различных аспектов вещей, которые мы сможем понять их интимную гармонию, которая сама по себе красива и, следовательно, достойна наших усилий.
Единственный естественный объект математической мысли - это целое число. Именно внешний мир наложил на нас континуум, который мы придумали, без сомнения, но который он заставил нас изобретать. Без него не было бы бесконечно малого анализа; вся математическая наука сводится к арифметике или к теории замещений.
Различают два вида логических исчислений: исчисление высказываний и исчисление предикатов. При первом допускается отвлечение от внутренней, понятийной структуры суждений, а при втором эта структура учитывается и соответственно символический язык обогащается, дополняется новыми знаками.
Значение символических языков в логике трудно переоценить. Г. Фреге сравнивал его со значением телескопа и микроскопа. А немецкий философ Г. Клаус (1912–1974) считал, что создание формализованного языка имело для техники логического вывода такое же значение, какое в сфере производства имел переход от ручного труда к машинному. Возникая на основе традиционной формальной логики, символическая логика, с одной стороны, уточняет, углубляет и обобщает прежние представления о логических законах и формах, особенно в теории выводов, а с другой – все более значительно расширяет и обогащает логическую проблематику. Современная логика – сложнейшая и высокоразвитая система знаний. Она включает в себя множество направлений, отдельных, относительно самостоятельных «логик», все более полно выражающих запросы практики и в конечном счете отражающих многообразие и сложность окружающего мира, единство и многообразие самого мышления об этом мире.
Напротив, мы посвятили почти все наше время и все наши силы изучению непрерывности. Кто будет сожалеть об этом; кто поверит, что на этот раз и эти силы были потеряны? Анализ раскрывает нас из бесконечных перспектив, которые арифметика не подозревает; он показывает вам с первого взгляда грандиозный ансамбль, порядок которого прост и симметричен; напротив, в теории чисел, в которой неожиданное царствование, точка зрения, так сказать, останавливается на каждом шагу.
Несомненно, они скажут вам, что кроме всего числа нет строгости и, следовательно, нет математической истины; что всюду он скрывает себя и что он должен стремиться сделать прозрачными завесы, которые скрывают его, даже если нужно смириться с бесконечными повторениями.
Символическая логика находит все более широкое применение в других науках – не только в математике, но и в физике, биологии, кибернетике, экономике, лингвистике. Она приводит к возникновению новых отраслей знаний (метаматематика). Особенно впечатляюща и наглядна роль современной логики в сфере производства. Открывая возможность как бы автоматизировать процесс рассуждений, она позволяет передать некоторые функции мышления техническим устройствам. Ее результаты находят все более широкое применение в технике: при создании релейно-контактных схем, вычислительных машин, информационно-логических систем и т. д. Растущие потребности научно-технического прогресса обусловливают дальнейшее интенсивное развитие современной логики.
Давайте не будем таким пуристом и будем благодарны континууму, который, если все выйдет из целого числа, был единственным, способным сделать так много из этого. Эрмит неожиданно воспользовался введением непрерывных переменных в теорию чисел? Таким образом, собственная область целого числа вторгается в себя, и это вторжение установило порядок, в котором преобладал беспорядок. Это то, что мы обязаны непрерывной и, следовательно, физической природе.
Серия Фурье - ценный инструмент, анализ которого делает постоянное использование, именно благодаря этому он способен представлять прерывистые функции; если бы Фурье изобрел его, он должен решить проблему физики, связанную с распространением тепла. Если бы эта проблема не возникла естественным образом, мы бы никогда не осмелились отказаться от ее прав на разрыв; мы долго считали бы непрерывные функции единственными истинными функциями.
Остается сказать, что в разработку систем символической логики внесли важный вклад русские ученые. Среди них особенно выделяется П. Порецкий (1846–1907). Так, он первым в России начал чтение лекций по математической логике. Его собственные труды в этой области не только были на уровне трудов современных ему западноевропейских ученых, но и в ряде случаев превосходили их.
Таким образом, понятие функции значительно расширилось и получило от некоторых логических аналитиков непредвиденное развитие. Эти аналитики, таким образом, отважились на регионы, где царит самая чистая абстракция и пошла как можно дальше от реального мира. Однако это была физическая проблема, которая предоставила им возможность.
За серией Фурье другие аналогичные ряды вошли в область анализа; они вошли в ту же дверь; они были разработаны для приложений. Теория уравнений в частных производных второго порядка имела аналогичную историю; он развивался в основном физикой и для физики. Но это может принимать разные формы; так как такого уравнения недостаточно для определения неизвестной функции, мы должны добавить к нему дополнительные условия, которые называются граничными условиями; следовательно, много разных проблем.
Область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «Л. с.» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880.
Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных в своих логических работах. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств, и вообще, любых рассуждений, выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем. Однако только к середине 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская , уже не отвечает требованиям развития современной науки.
Если бы аналитики отказались от своих естественных тенденций, они бы знали только одно, что мадам де Ковалевски относилась к ее знаменитым мемуарам. Но есть множество других, которых они бы проигнорировали. Каждая из физических теорий, таких как электричество, тепло, представляет эти уравнения для нас в новом свете. Поэтому мы можем сказать, что без них мы не знали бы дифференциальных уравнений с частными производными.
Нет необходимости умножать примеры. Но это еще не все; физика не только дает нам возможность решать проблемы; это помогает нам найти средства, и это двумя способами. Это заставляет нас предвидеть решение; это предлагает нам рассуждения. Он встречается в геометрии, в теории конформного представления и в чистом анализе, в теории воображаемого. Таким образом, при изучении функций комплексных переменных аналитик наряду с геометрическим изображением, который является его обычным инструментом, находит несколько физических изображений, которые он может использовать с одинаковым успехом.
С работ Дж. Буля 1847 и 1854 начался новый этап развития логики под названием «алгебра логики». С др. стороны, возникновение и развитие Л. с. связано с работами Г. Фреге, который впервые в 1879 представил свод логических законов в виде исчисления. Кроме того, для логики предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательства», которое является общепринятым и по сей день.
Благодаря этим образам он может сразу увидеть, что чистый вывод будет показывать его только последовательно. Таким образом, он собирает разрозненные элементы решения и по каким-то соображениям интуиции, прежде чем он сможет продемонстрировать. Нужно ли мне напоминать, что именно так были сделаны все важные открытия?
Сколько истин, которые физические аналогии позволяют нам предвидеть и которые мы не можем установить строгими рассуждениями! Например, математическая физика вводит большое количество разработок в серии. Эти события сходятся, никто не сомневается; но математическая определенность отсутствует.
Основы современной логической символики были разработаны итал. математиком Дж. Пеано, чьи интересы, как и интересы Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910-1913), а затем одобрена и Д. Гильбертом.
Это так много завоеваний, гарантированных исследователям, которые придут после нас. С другой стороны, физика предоставляет нам не только решения; он до сих пор дает нам, в определенной степени, рассуждения. Клейн в вопросе о поверхностях Римана прибегал к свойствам электрических токов.
Верно, что подобные рассуждения не являются строгими, в том смысле, что аналитик присоединяется к этому слову. Кажется, что не может быть двух жестов, эта строгость есть или нет, и что там, где ее нет, не может быть никаких рассуждений. Этот очевидный парадокс будет лучше понят, если вспомнить, в каких условиях число относится к явлениям природы.
Создание логического языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в. возникла потребность в Л. с. В первую очередь, развитие Л. с. было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида в геометрии. Только с развитием Л. с. появился аппарат, позволяющий решать проблему логической независимости аксиом данной теории. Суть проблемы состоит в установлении того, что некоторая аксиома теории не доказуема из остальных.
Каков общий источник трудностей, возникающих при поиске строгости? Это почти всегда встречается с желанием установить, что некоторая величина стремится к такому пределу или что некоторая функция непрерывна или что она имеет производную. Теперь цифры, которые физик измеряет по опыту, известны ему только грубо; и, с другой стороны, любая функция всегда различается так же мало, как требуется от прерывистой функции, и в то же время отличается от последовательности непрерывной функцией.
Поэтому физик может, по его усмотрению, предположить, что изучаемая функция является непрерывной или что она прерывистая; что он имеет производную, или что нет; и это, не опасаясь когда-либо противоречить, либо реальным опытом, либо любым будущим опытом. Вполне возможно, что с этой свободой он играет с трудностями, которые арестовывают аналитика.
Основным стимулом развития Л. с. в начале 20 в. была проблема оснований математики, особенно после того, как в теории множеств были обнаружены различные парадоксы. Ответом на парадоксы стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: , (программа Гильберта) и теретико-множественного платонизма в виде аксиоматической теории множеств ZF. В каждом из этих случаев потребовалось развитие и применение технического аппарата Л. с. В первую очередь, это относится к программе Гильберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория).
Он всегда может рассуждать так, как будто все функции, введенные в его вычисления, были целыми многочленами. Таким образом, понимание, которое достаточно для физики, не является аргументом, необходимым для анализа. Из этого не следует, что нельзя найти другого.
Мы уже трансформировали так много физических представлений о строгих демонстрациях, что это преобразование теперь легко. Здесь друзья проблематично проиллюстрировали. Математика. В стакане содержится 1 литр воды, каждую минуту мы пьем мотив того, что он содержит. Математически мы никогда не можем опорожнить стакан воды, мы можем продолжать бесконечность.
Однако вывод К. Геделя о неполноте арифметики - сделанный в 1931 и утверждающий, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S - убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Обширным полем деятельности для современной Л. с. является теория рекурсии, которая, в первую очередь, имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. ) явилось основным стимулом для создания теории алгорифмов. Только после уточнения понятия алгорифма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы (А.А. Марков, Э. Пост, П.С. Новиков).
Физика. В физике такая же проблема до конца, можно определить, как долго закончится эксперимент. Расчет не является полным описанием материального мира. Всем известно, что физика обнаружила, что материя, как и свет, состоит из «зерен», называемых частицами. Это вещество будет называться фермионами, то есть частицами, подчиняющимися правилу Ферми, которые предотвращают агломерирование частиц одного и того же состояния из-за «принципа Паули». Фермионы имеют два типа: лептоны или кварки. Свет - выражение, используемое здесь для группировки всех так называемых взаимодействующих частиц, будет образовано из бозонов, то есть частиц, которые подчиняются правилу Бозе, которое включает частицы, которые склонны к агломерации в одном общий состояние.
И, наконец, важное место в современной Л. с. занимает теория моделей (см. ), которая изучает модели формальных теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей.
Развитие современной логики показывает, что терм и н «Л. с.» гораздо шире термина «Математическая логик а», г д е изучаются только те типы рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом, и поэтому строго разделить современные на относящиеся к Л. с. и не относящиеся к ней порой просто невозможно.
Похоже, что набор функционировал как конструктивное множество: частицы добавляются для образования больших множеств, таких как атом, молекулы и макромолекулы. Нейтроны и протоны добавляются, чтобы сформировать ядро атомов, а электроны добавлены, чтобы сформировать атомное окружение, которое позволяет атому глобально нейтрально электрически.
Первая причина заключается в том, что это аддитивное изображение предполагает, что частицы являются статическими, индивидуальными объектами, которые существуют постоянно или, по крайней мере, в течение длительных периодов времени. К каждой отдельной частице относилась масса, которая считалась прикрепленной к материальной вещи. Текущая физика очень отличается. Индивидуальность частицы больше не допускается. Масса - это свойство, которое перемещается и переходит из одной точки в другую, не привязавшись к объекту.
Л. с. является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь, это результаты Геделя о неполноте. Оказалось, что неполнота арифметики принципиальна, т.е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их . Итог этой рефлексии имеет далеко идущие последствия, ибо встает вопрос о самом статусе математики: не основывается ли она на глубоко скрытых противоречиях? Кроме того, в настоящее время идет оживленная дискуссия, вызванная результатом Геделя. Многие ученые, в том числе и с мировым именем (Пенроуз Р. Тени разума. В поисках науки о сознании. М.- Ижевск, 2003), пришли к выводу, что деятельность человеческого разума является невычислимым процессом, и поэтому его на компьютерном устройстве в принципе невозможно.
Чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, о том, что такое логика. Дело в том, что, в отличие от математики, чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов логик. О единстве Л. с. не может быть и речи - столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик. Встает вопрос об иерархии, о взаимоотношениях и классификации всех эти логик. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic».
А. С. Карпенко Введение в математическую логику. М., 1984 (3-е изд.); Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973; Справочная книга по математической логике. Т. 1 - 4. М., 1982-1983; Copi I.M. Symbolic Logic. Prentice Hall, 1979 (5th ed.); From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879 - 1931. Cambridge, 1967; Klerk V. Understanding Symbolic Logic. Prentice Hall, 1994; П-Bibliography of Mathematical Logic. Vols. I-VI. В., 1987.
