Конъюнкция и дизъюнкция условные обозначения. Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание
Конъюнкция 1 – это суждение , полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и» .
Пример. Если суждения «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и», получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае , когда оба входящих в нее суждения являются истинными .
Это может быть формальный или неформальный язык. Наиболее распространенными логическими связями являются двоичные файлы, которые также называются диадическими связями. Они объединяют два предложения, которые делают окончательный смысл истинным. Унарная связка считается отрицанием.
Эти связки являются одним из двух основных типов логики, используемых в формальных системах, таких как логика высказываний и логика предикатов. На естественном языке два предложения могут составлять составное предложение, если к ним присоединяется конъюнкция. Некоторые из этих союзов являются функциями истины, и это логические связки.
Если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Суждение А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о суждении В . Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих суждений.
Обозначим конъюнкцию символом «˄». Используется также символ «&». Таблица истинности для конъюнкции такова.
Обратите внимание, что слова и и «затем» являются грамматическими конъюнкциями, так как объединяют два предложения, образуя составное предложение, в примере 3 и в примере 3 и является логическим соединителем, поскольку значение истинности 3 равно полностью определяется предложениями 1 и 2. Слово «тогда» не является логическим связующим, потому что, включив «тогда», можно подумать, что предложение 2 не определено Джессикой, возможно, вело по другой причине, а не просто потому, что Марина шла.
Существует несколько слов и пар слов, которые образуют логические связки. Некоторые слова, которые имеют чувство отрицания, такие как: «нет», «это ложь», и «это не так», также выражают логическую связность. В этом случае, если они применяются только в одном предложении, это будет унарное соединение.
|
А ˄ В |
||
Дизъюнкция
Нестрогая дизъюнкция 2 – это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или».
В формальных языках логические связки, которые также называются логическими операторами, пропозициональными или связующими операторами функций истинности, имеют некоторые формулы, которые очень помогают. Некоторые связки и их представления. Предложение, которое может быть переведено на французский.
Мы ищем переводчика, который знает датский или норвежский. Эти два предложения являются синонимами и означают, что переводчик, которого вы ищете, может говорить только на одном из этих двух языков или в обоих случаях одновременно. Соединение или действительно по умолчанию включительно: оно включает дополнение в дополнение к альтернативе.
В повседневном языке слово «или» имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
Итак, дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.
Пример . Суждение «В этом сезоне я хочу пойти на “Пиковую даму” или на “Аиду”» является нестрогой дизъюнкцией.
Этот неявно инклюзивный характер или также справедлив для эквивалентов этого соединения на других языках, таких как золото на английском языке. В меню дня предлагаются телятина или ягненок. Можно подумать, что контекст меню ресторана достаточно, чтобы определить исключительность этого или. Но если кто-то хочет устранить любую двусмысленность, можно прибегнуть к этим виткам.
В ежедневном меню предлагаются телятина или ягненок. Мы видели, что соединение, или, скорее, имеет инклюзивное значение по умолчанию, но если мы все же хотим сделать этот инклюзивный характер явным, мы сделаем это с помощью перифраса. Мы ищем переводчика, который знает датский, норвежский или оба.
Строгая дизъюнкция ‒ это суждение , полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо …, либо …» .
Пример . В суждении «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Нестрогая дизъюнкция означает, что, по крайней мере, одно из этих суждений истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Строгая дизъюнкция означает, что одно из них истинно, а второе – ложно.
Мы ищем переводчика, который знает датский или норвежский, возможно, оба. Неудивительно, что поколениям писателей удалось обойтись без такого костыля. Тогда он распространился бы на техническом языке. Это дверь, открытая для многих недоразумений. Думаю, вы догадались, какой маленький камень мне хотелось бы поставить на вопрос «Что такое логика?». Конечно, для каждой логики, определяемой правилами дедукции и правилами вычисления, можно построить логику который имеет только правила дедукции и демонстрирует те же предложения, набор очевидных предложений один и тот же, но демонстрации разные.
Символ «v» обозначает нестрогую дизъюнкцию, символ «V» – строгую дизъюнкцию. Применяются также другие обозначения.
Нестрогая дизъюнкция истинна , когда хотя бы одно из входящих в нее суждений истинно , и ложна тогда , когда оба ее члена ложны .
Строгая дизъюнкция истинна , когда истинным является только один из ее членов , и она ложна , когда оба ее члена истинны или оба ложны .
Программирование на математическом языке
Первый остается в рамках теоретических вычислений, а второй выходит. Во-первых, это программирование математического языка. Но если этот термин появляется на экране компьютера, это не помогает узнать, сможете ли вы погасить эти ежемесячные платежи или нет. Этот термин называется значением. Идентификация программ и функций поэтому полезна, если мы формализуем математику в системе, которая включает в себя правила вычета и правила расчета, так что значения являются формами для этих правил расчета. Смысл предложения, которое противостоят обозначению определяется Фрегом в Законах основополагающие принципы арифметики: Наши условия определяют, при каких условиях это имя истины означает истину.
Таблица истинности для дизъюнкции такова.
|
A v В |
A V B |
||
Импликация
Импликация 3 – это суждение , полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …» .
Другими словами, смысл утверждения А заключается в том, что требуется для утверждения этого утверждения, чтобы продемонстрировать его. Это дает правило естественного вывода введение конъюнкции и. Это правило является смыслом конъюнкции и. И это значение мы не знаем, как выразить это иначе, чем путем предоставления этого правила. Это понятие смысла позволяет определить направление соединителей и квантификаторов. Мы также можем определить значение предиката и функциональных символов языка, например, понятие параллелизма определяется аксиомами геометрии.
Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.
Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием , или антецедентом 4 . Суждение, идущее после слова «то», называется следствием , или консеквентом 5 . Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.
Эта идея объединяет понятие Пуанкаре, согласно которому аксиомы геометрии являются «Замаскированные определения». Другого способа определения понятия параллели не существует, чем путем предоставления аксиом геометрии. Но может ли это помочь нам понять смысл полных предложений?
Более просто, это может помочь нам понять условие, при котором два предложения А и В имеют одинаковое значение. Если мы сможем определить это отношение эквивалентности «иметь то же значение, что и», мы можем довольствоваться определением значения предложения как своего класса эквивалентности для этого отношения. Это позволяет избежать проблемы природы смысл и определить его до некоторой степени к изоморфизму. Если они разные, то два предложения всегда имеют другое значение, потому что они не могут поделиться демонстрацией.
Логический союз «если..., то...» может выражаться с помощью различных языковых средств.
Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».
Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.
Когда мы определяем логику с правилами дедукции и правилами вычисления, то имеет более низкую эквивалентность, согласно которой два предложения имеют одинаковый смысл, если они имеют одинаковую уменьшенную форму, то есть равны в частном Другими словами, расчет не имеет смысла: вычисление в предложении не влияет на смысл предложения.
Первым следствием является то, что смысл предложения зависит от выбранных условных расчетов. С другой стороны, если взять правила сложения в качестве правил расчета, эти два предложения имеют одинаковый смысл. Это несколько шокирует, что смысл предложения зависит от конвенций. Но та же проблема возникает и при обозначении: гипотеза о непрерывности означает «истинное» или «ложное» только как функцию от аксиом, которые ставятся, т.е. условностей рассуждений. Точно так же, как обозначение суждения определяется условными условными обозначениями, смысл предложения определяется соглашениями расчета.
Не может случиться так , чтобы основание было истинным, а следствие – ложным .
Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.
Примеры . Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.
Другим, более тревожным последствием является то, что проблема равенства смысла двух положений разрешима, так как достаточно сравнить их приведенные формы. Но можем ли мы сказать, что два предложения имеют одинаковое значение, если, посмотрев на них, мы не смогли это реализовать?
Таким образом, исходя из типов знаков, устанавливающих интерактивные отношения между двумя актантами, становится возможным различать два основных типа диалога: вербальный диалог, центральный код которого является языком и невербальный диалог, использующий другие коды, В микросоциальном контексте семьи диалог обязательно будет иметь размер плюрикода, сочетающий вербальные и невербальные. Во всех случаях расширение основано на комбинации двух функций: инвариантной черты, биполярного ограничения интерактивной сцены и переменной функции, состоящей из характера кода.
В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.
|
A → В |
||
ОТРИЦАНИЕ, КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНКЦИЯ
Но на другом плане, иерархии планов семиотического выражения, диалог не может быть ограничен его единственной вербальной или невербальной реальностью. Это также подразумевает практическое и стратегическое измерение, поскольку семиотические уровни иерархически превосходят текстовый уровень, который они интегрируют и манипулируют. Как практика, диалог понимается как этап, на котором вмешиваются субъекты, определяемые их модальными и страстными отношениями; эти актеры манипулируют либо вербальными, либо невербальными текстами или «объектами», такими как человеческие тела, как носители для написания сообщений; наконец, эта сцена происходит в заданном пространственно-временном контексте.
Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на части, мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».
Определение диалога как практики будет определять лингвистические привычки пары или даже канонические формы супружеского диалога. Диалог как стратегия рассматривает цели, связанные с языковой практикой и, прежде всего, их совместимость, взаимодополняемость и возможные корректировки, которые могут потребоваться для этой стратегии.
Именно на этой теоретической основе будут проанализированы формы диалога в парах. Гипотеза, которая должна быть проверена, касается эволюции статуса африканских женщин. Действительно, признано, что в вымышленных повествованиях, изображающих актеров африканской традиции, неравенство в диалоге между мужчинами и женщинами внутри пар является лишь отражением несоответствия в социальных ролях был назначен. Учитывая весьма условное измерение этой иерархии мест, говорящий берет на себя истинный языковой ритуал.
Понятие высказывания - одно из ключевых в логике. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных её разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определённую ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.
Высказывание считается истинным , если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным , если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.
Если придерживаться этой объяснительной гипотезы о функционировании внутрипарного диалога в традиционной среде, можно разумно думать, что появление современности должно было изменить это классическое лингвистическое поведение. Именно эту гипотезу мы предлагаем рассмотреть в вымышленных повествованиях, особенно в двух сборниках рассказов Бернадетт Дао, «Последняя жена» и «Женщина дьявола». Две повторяющиеся черты позволяют этим текстам формировать единство: повествовательно-эвентуальную непрерывность, в качестве иллюстрации Милии как основного повествователя и как персонажа, а также тематическую непрерывность через описание жизни пар в городском пространстве.
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идёт дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идёт дождь», «Либо дует ветер, либо идёт дождь», «Если идёт дождь, дует ветер» и т.п. Слова «и», «либо, либо», «если, то» и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.
Интерес исследования фокусируется на актантной фигуре интеллектуальных пар, актеров, рассматриваемых как полный, если не символический, образ современности в Африке. С одной стороны, нужно будет изучить, с одной стороны, место диалога в построении аффективной идентичности пары, а с другой стороны, коммуникативные стратегии, развернутые каждым супругом, чтобы отметить его присутствие в этой микросоциальной вселенной. Особое внимание будет уделено тому, как образованная и зарплату женщина создает свое новое место, свою новую идентичность в паре в и через диалог.
Высказывание называется простым , если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание является сложным , если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.
Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей, и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные. В логике, однако, подход является обратным. Сначала рассматриваются способы построения сложных высказываний из более простых, при этом простое высказывание берётся как неразложимое далее целое (как «атом»), и только затем переходят к выявлению строения простых высказываний. Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определённое значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно лёгкой.
Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.
Перейдём теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.
Отрицание - логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причём, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - чётное число» является высказывание «10 не есть чётное число» (или: «Неверно, что 10 есть чётное число»).
Будем обозначать высказывания буквами А, В, С, … , отрицание высказывания - символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задаётся условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.
Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности , в которой «и» означает «истинно» и «л» - «ложно».
В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в неё высказывания являются истинными ; если хотя бы один из её членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Высказывание А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.
Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже.
Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:
1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;
2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.
Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределённые с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т.п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.
В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шёл в пальто и я шёл в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие её высказывания не связаны между собою по смыслу.
Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.
Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.
Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на „Пиковую даму“ или на „Аиду“» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем , смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе - ложно.
Символ v будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться символ V. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в неё высказываний истинно , и ложна, только когда оба её члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из её членов , и она ложна, когда оба её члена истинны или оба ложны.
В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
Разложение некоторого высказывания на простые, далее неразложимые части даёт два вида выражений, называемых собственными и несобственными символами. Особенность собственных символов в том, что они имеют какое-то содержание, даже взятые сами по себе. К ним относятся имена (обозначающие некоторые объекты), переменные (отсылающие к какой-то области объектов), высказывания (описывающие какие-то ситуации и являющиеся истинными или ложными). Несобственные символы не имеют самостоятельного содержания, но в сочетании с одним или несколькими собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. К несобственным символам относятся, в частности, логические связки, используемые для образования сложных высказываний из простых: «… и …», «… или …», «либо …, либо …», «если …, то …», «… тогда и только тогда, когда …», «ни …, ни …», «не …, а …», «…, но не …», «неверно, что …» и т.п. Само по себе слово, скажем «или», не обозначает никакого объекта. Но в совокупности с двумя собственными, обозначающими символами это слово даёт новый обозначающий символ: из двух высказываний «Письмо получено» и «Телеграмма отправлена» - новое высказывание «Письмо получено или телеграмма отправлена».
